Question

偶函数f（x）满足f（x-1）=f（x+1），且当x∈[0，1]时，f（x）=-x+1，则关于x方程f（x）-log₆（|x|+1）=0在x∈（-3，+∞）上解的个数是（ ）
A．7
B．8
C．9
D．10

Answer

根据函数的奇偶性、单调性和周期性画出图象，进而即可得到答案．
【解析】
①设x∈[-1，0]，则（-x）∈[0，1]，
又∵函数f（x）是偶函数，∴f（x）=f（-x）=-（x+1）．
由函数f（x）满足f（x-1）=f（x+1），∴f（x）=f（x+2），∴函数f（x）是周期为2的函数．
因此可以先画出y=f（x）在区间[-1，1]上的图象，根据周期性即可画出整个定义域内的图象．
②先画出g（x）=log6（|x|+1）=log6（x+1）在[0，+∞）上的图象，根据其奇偶性即可画出（-3，0）上的图象．
由图象可以看出：函数f（x）的值域是[0，1]；当x=±5时，g（x）=1，即x∈（-3，5]时，g（x）∈[0，1]，
当x＞5时，g（x）＞1．
由图象和上面的分析可知：函数y=f（x） 与y=g（x）在区间（-3，+∞）上有且仅有8个交点，即关于x方程f（x）-log6（|x|+1）=0在x∈（-3，+∞）上解的个数是8．
故选B．