Question

倾斜角为α的直线过点C（0，4），且与抛物线x²=4y交于A，B两点，O为原点，则的值为（ ）
A．0
B．4
C．tanα
D．tan²α

Answer

设直线AB的方程为y=kx+4，代入抛物线方程化简，再利用一元二次方程根与系数的关系求得 x1+x2=4k，x1•x2=-16．计算 =x1•x2+y1•y2=（1+k2）x1•x2 +4k（x1+x2）+16=0，从而得到结论．
【解析】
由题意可得，直线AB的斜率存在，设为k，则直线AB的方程为y=kx+4．
设A（x1，y1）、B（x2，y2）．
把直线AB的方程y=kx+4代入抛物线x2=4y可得 x2-4kx-16=0，故有 x1+x2=4k，x1•x2=-16．
由于 =x1•x2+y1•y2=x1•x2+（kx1+4）（kx2+4）=（1+k2）x1•x2 +4k（x1+x2）+16=0，
故选A．