Question

已知函数（a∈R）．
（1）若a=1，求函数f（x）的极值；
（2）若f（x）在[1，+∞）内为单调增函数，求实数a的取值范围；
（3）对于n∈N^*，求证：．

Answer

（1）求出函数的导数，判断导数的正负，得到函数有极小值0，无极大值．
（2）由条件可知f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，得到a的范围．
（3）当a=1时，由（2）知，f（x）在[1，+∞）内为单调增函数，即x＞1时，f（x）＞f（1）=0，即，就可以得到结论．
【解析】

（1）若a=1，，令f′（x）=0，得x=1或x=-2（负值舍去）
当0＜x＜1时，f′（x）＜0；当x＞1时，f′（x）＞0
∴f（x）的极小值为f（1）=0，无极大值．
（2）∵f（x）在[1，+∞）内为单调增函数
∴在[1，+∞）上恒成立
即x2+ax-2a≥0在[1，+∞）上恒成立
令g（x）=x2+ax-2a
当即a≥-2时，g（1）≥0，得a≤1，∴-2≤a≤1
当即a＜-2时，，得-8≤a≤0，∴-8≤a＜-2
综上a的取值范围是[-8，1]
（3）当a=1时，由（2）知，f（x）在[1，+∞）内为单调增函数
即x＞1时，f（x）＞f（1）=0
即
取
∵
∴
∴…+