Question

设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意a、b∈R，当a+b≠0时，都有．
（1）若a＞b，试比较f（a）与f（b）的大小关系；
（2）若f+f＞0对任意x∈[0，+∞）恒成立，求实数k的取值范围．

Answer

（1）由a＞b，得，所以f（a）+f（-b）＞0，由f（x）是定义在R上的奇函数，能得到f（a）＞f（b）．
（2）由f（x）在R上是单调递增函数，利用奇偶性、单调性可把f（9x-2•3x）+f（2•9x-k）＞0中的符号“f”去掉，分离出参数k后转化为函数最值即可解决．
【解析】
（1）∵对任意a，b，当a+b≠0，都有．
∴，
∵a＞b，∴a-b＞0，
∴f（a）+f（-b）＞0，
∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（-b）=-f（b），
∴f（a）-f（b）＞0，
∴f（a）＞f（b）；
（2）由（1）知f（x）在R上是单调递增函数，
又f（9x-2•3x）+f（2•9x-k）＞0，得f（9x-2•3x）＞-f（2•9x-k）=f（k-2•9x），
故9x-2•3x＞k-2•9x，即k＜3•9x-2•3x，
令t=3x，则t≥1，
所以k＜3t2-2t，而3t2-2t=3-在[1，+∞）上递增，所以3t2-2t≥3-2=1，
所以k＜1，即所求实数k的范围为k＜1．