Question

已知抛物线P的方程是x²=4y，过直线l：y=-1上任意一点A作抛物线的切线，设切点分别为B、C．
（1）证明：△ABC是直角三角形；
（2）证明：直线BC过定点，并求出定点坐标．

Answer

（1）设A（m，-1），B（x1，y1），C（x2，y2），利用导数的几何意义可得 =x1，化简得 -2mx1-4=0．同理可得 -2mx2-4=0，故有 x1+x2=2m，x1•x2=-4．计算AB和AC的斜率之积等于-1，从而得到AB⊥AC，即△ABC是直角三角形．
（2）求得BC所在的直线方程为 y-y1=（x-x1），化简为y=mx+1，显然过定点（0，1）．
【解析】
（1）证明：设A（m，-1），B（x1，y1），C（x2，y2）．
∵抛物线P的方程是x2=4y，∴y′=．
∴=x1，∴+1=-mx1，∴-2mx1-4=0．
同理可得，-2mx2-4=0，∴x1+x2=2m，x1•x2=-4．
∵KAB•KAC=x1•x2==-1，
∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形．
（2）证明：BC所在的直线方程为 y-y1=（x-x1），
化简可得 y-=（x1+x2）（x1-x2），即 y=mx+1，
显然，当x=0时，y=1，故直线BC过定点（0，1）．