Question

已知正项数列{a_n}中a₁=1，前n项和S_n满足2S_n=a_na_n+1；数列{b_n}是首项和公比都等于2的等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{a_nb_n}的前n项和
（3）记f（n）=，T_n=，求证：．

Answer

（1）通过2Sn=anan+1；推出数列的递推关系式，推出数列是等差数列，然后求数列{an}的通项公式；
（2）通过数列{bn}是首项和公比都等于2的等比数列，求出bn，利用错位相减法求解数列{anbn}的前n项和．
（3）通过f（n）=，化简Tn=的表达式，求出T1，T2，当n≥3时转化Tn，与Tn，然后证明．
【解析】
（1）因为2Sn=anan+1；所以n=1时2S1=a1•a2，a1=1，所以a2=2，
∵2Sn=anan+1；∴2Sn+1=an+1an+2；
可得2an+1=an+1an+2-anan+1；
∵an＞0∴an+2-an=2；
∵a1=1，a2=2，
∴数列{an}是等差数列，
an=n．
（2）数列{bn}是首项和公比都等于2的等比数列，所以bn=2n，数列{anbn}的前n项和
Sn=a1b1+a2b2+…+anbn=1×2+2×22+…+n×2n…①
2Sn=1×22+2×23+…+（n-1）×2n+n×2n+1…②
所以②-①得
Sn=n×2n+1-（2+22+…+2n）=（n-1）2n+1+2．
（3）证明∵f（n）=，
Tn=
=，
T1==，T2===，
当n≥3时Tn=

≥
=
又Tn=

=
综上