Question

在锐角三角形中，边a、b是方程x²-2x+2=0的两根，角A、B满足：2sin（A+B）-=0，求角C的度数，边c的长度及△ABC的面积．

Answer

由2sin（A+B）-=0，得到sin（A+B）的值，根据锐角三角形即可求出A+B的度数，进而求出角C的度数，然后由韦达定理，根据已知的方程求出a+b及ab的值，利用余弦定理表示出c2，把cosC的值代入变形后，将a+b及ab的值代入，开方即可求出c的值，利用三角形的面积公式表示出△ABC的面积，把ab及sinC的值代入即可求出值．
【解析】
由2sin（A+B）-=0，得sin（A+B）=，
∵△ABC为锐角三角形，
∴A+B=120°，C=60°．（4分）
又∵a、b是方程x2-2x+2=0的两根，∴a+b=2，a•b=2，（6分）
∴c2=a2+b2-2a•bcosC=（a+b）2-3ab=12-6=6，
∴c=，（10分）
S△ABC=absinC=×2×=．（12分）