Question

已知定义域为R的函数是奇函数．
（1）求a，b的值；
（2）判断函数f（x）的单调性并加以证明；
（3）当t∈[-1，2]时，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求实数k的取值范围．

Answer

（1）利用特殊值：f（0）=0且f（-1）=-f（1），建立关于a、b的等式并解得a=2，b=1，再将其代入函数表达式加以检验即可；
（2）根据单调性的定义，设x1＜x2，将f（x1）与f（x2）作差，再通分整理，可得这个差是一个正数，从而得到f（x1）＞f（x2），所以f（x）在（-∞，+∞）上是单调减函数；
（3）根据函数的单调性和奇偶性，将原不等式恒成立转化为关于t的一元二次不等式3t2-2t-k＞0恒成立，再利用一元二次不等式解法结合根的判别式，可求出k的取值范围．
【解析】
（1）因为f（x）是奇函数，函数的定义域为R，所以f（0）==0，可得b=1，
∴，取f（-1）=-f（1）得=，解之得a=2
因此，，满足=-=-f（x），符合题意
所以a=2，b=1
（2）由（1）得，=，设x1＜x2，则
f（x1）-f（x2）=-（）=
∵y=2x在实数集上是增函数且函数值恒大于0，
∴-＞0，+1＞0且+1＞0，可得f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）
∴f（x）在（-∞，+∞）上是单调减函数
（3）∵f（x）是奇函数，
∴f（t2-2t）+f（2t2-k）＜0，等价于f（t2-2t）＜-f（2t2-k）=f（k-2t2），
∵f（x）在（-∞，+∞）上为减函数，
∴由上式可得：t2-2t＞k-2t2．
即对任意t∈R有：3t2-2t-k＞0，
∴△=4+12k＜0⇒k＜-，即实数k的取值范围是（-∞，-）．