Question

如图，四边形ABCD与A′ABB′都是边长为a的正方形，点E是A′A的中点，A′A⊥平面ABCD．
（1） 求证：A′C∥平面BDE；
（2） 求证：平面A′AC⊥平面BDE
（3） 求平面BDE与平面ABCD所成锐二面角的正切值．

Answer

（1）设BD交AC于M，连接ME．根据中位线定理可知ME∥A'C，而ME⊂平面BDE，A'C⊄平面BDE，满足线面平行的判定定理，从而得到结论；
（2）欲证平面A′AC⊥平面BDE，根据面面垂直的判定定理可知在平面BDE内一直线与平面A′AC垂直，而根据线面垂直的判定定理可知BD⊥平面A'AC，而BD⊂平面BDE，满足定理所需条件；
（3）平面BDE与平面ABCD交线为BD，根据二面角平面角的定义可知锐角∠AME为平面BDE与平面ABCD所成锐二面角的平面角
在直角三角形AME求出此角即可．
【解析】
（1）证明设BD交AC于M，连接ME．
∵ABCD为正方形，
所以M为AC中点，
又∵E为A'A的中点
∴ME为△A'AC的中位线
∴ME∥A'C
又∵ME⊂平面BDE，A'C⊄平面BDE
∴A'C∥平面BDE．（4分）
（2）∵ABCD为正方形
∴BD⊥AC
∵AA'⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴AA'⊥BD
∴BD⊥平面A'AC，而BD⊂平面BDE
∴平面A′AC⊥平面BDE
（3）平面BDE与平面ABCD交线为BD
由（2）已证BD⊥平面A'AC．
∴BD⊥AM，BD⊥EM
∴锐角∠AME为平面BDE与平面ABCD所成锐二面角的平面角
∵AA'⊥平面ABCD∴AA'⊥AM
在边长为a的正方形中AM=AC=a
而AE=AA'=
∴tan∠AME==为所求．