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高中数学试题
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已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,斜率为的直线交抛物线于A(x1,y1)...
已知过抛物线y
2
=2px(p>0)的焦点,斜率为
的直线交抛物线于A(x
1
,y
1
)和B(x
2
,y
2
)(x
1
<x
2
)两点,且|AB|=9,
(1)求该抛物线的方程;
(2)O为坐标原点,C为抛物线上一点,若
,求λ的值.
(1)直线AB的方程与y2=2px联立,有4x2-5px+p2=0,从而x1+x2=,再由抛物线定义得:|AB|=x1+x2+p=9,求得p,则抛物线方程可得. (2)由p=4,4x2-5px+p2=0求得A(1,-2),B(4,4).再求得设的坐标,最后代入抛物线方程即可解得λ. 【解析】 (1)直线AB的方程是y=2(x-),与y2=2px联立,有4x2-5px+p2=0, ∴x1+x2= 由抛物线定义得:|AB|=x1+x2+p=9 ∴p=4,∴抛物线方程是y2=8x. (2)由p=4,4x2-5px+p2=0得:x2-5x+4=0, ∴x1=1,x2=4, y1=-2,y2=4,从而A(1,-2),B(4,4). 设=(x3,y3)=(1,-2)+λ(4,4)=(4λ+1,4λ-2) 又[2(2λ-1)]2=8(4λ+1),解得:λ=0,或λ=2.
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考点分析:
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2
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试题属性
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难度:中等
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