Question

已知正△ABC的顶点A在平面α上，顶点B、C在平面α的同一侧，D为BC的中点，若△ABC在平面α上的投影是以A为直角顶点的三角形，则直线AD与平面α所成角的正弦值的范围为    ．

Answer

根据题意，作图，设正三角形的边长为1，设出B，C到面的距离分别为a，b，，则DG的长度为两者和的一半，通过解直角三角形用a，b表示出DG，得出sinα的表达式后，再根据条件，利用函数、不等式知识研究其最值．
【解析】
设正△ABC边长为1，则线段AD=
设B，C到平面α距离分别为a=BE，b=CF，
则D到平面α距离为hDG=
射影三角形两直角边的平方分别为1-a2，1-b2，
设线段BC射影长为c，则1-a2+1-b2=c2，（1）
又线段AD射影长为 ，
所以（ ）2+=AD2=，（2）
由（1）（2）联立解得 ab=，
所以sinα===≥==，当a=b=时等号成立．
此时BC与α平行．
令函数f（a）=，0＜a＜1，根据B，C关于D的对称性，不妨研究≤a＜1的情形．
由于函数f′（a）=1-=
当≤a＜1时，f′（a）＞0，
所以f（a）在（1）上单调递增，当a趋近于1时，f（a）趋近于1+=．，
sinα趋近于
所以sinα的取值范围为
故答案为：