Question

已知棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N分别是棱CD，AD的中点．
（1）求证：四边形MNA₁C₁是梯形；
（2）求证：∠DNM=∠D₁A₁C₁．

Answer

（1）欲证四边形MN A1C1是梯形，只须证其一组对边平行且不等即可，连接AC，在△ACD中，M，N分别是棱CD，AD的中点，根据三角形的中位线定理即可证得；
（2）根据平行公理可知MN∥A1C1，又∵ND∥A1D1，从而有∠DNM与∠D1A1C1相等或互补，而∠DNM与∠D1A1C1均是直角三角形的锐角，故可证出∠DNM=∠D1A1C1
证明：（1）连接AC，在△ACD中，
∵M，N分别是棱CD，AD的中点，
∴MN是三角形的中位线，
∴MN∥AC，MN=AC．由正方体的性质得：AC∥A1C1，AC=A1C1．
∴MN∥A1C1，且MN= A1C1，即MN≠A1C1，
∴四边形MN A1C1是梯形．
（2）由（1）可知MN∥A1C1，又∵ND∥A1D1，
∴∠DNM与∠D1A1C1相等或互补，而∠DNM与∠D1A1C1均是直角三角形的锐角，
∴∠DNM=∠D1A1C1