Question

已知函数f（x）=（log₂x-2）（log₄x-），2≤x≤4
（1）求该函数的值域；
（2）若f（x）≤mlog₂x对于x∈[2，4]恒成立，求m的取值范围．

Answer

（1）f（x）=（log2x-2）（log4x-）=，2≤x≤4令t=log2x，则y==，由此能求出函数的值域．
（2）令t=log2x，得对于1≤t≤2恒成立，从而得到m≥对于t∈[1，2]恒成立，构造函数g（t）=，t∈[1，2]，能求出m的取值范围．
【解析】
（1）f（x）=（log2x-2）（log4x-）
=，2≤x≤4
令t=log2x，则y==，
∵2≤x≤4，∴1≤t≤2．
当t=时，ymin=-，当t=1，或t=2时，ymax=0．
∴函数的值域是[-]．
（2）令t=log2x，得对于1≤t≤2恒成立．
∴m≥对于t∈[1，2]恒成立，
设g（t）=，t∈[1，2]，
∴g（t）==，
∵g（1）=0，g（2）=0，
∴g（t）max=0，∴m≥0．
故m的取值范围是[0，+∞）．