Question

已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足（1）x＞1时，f（x）＜0；（2）f（）=1；（3）对任意的x、y∈（0，+∞），都有f（xy）=f（x）+f（y），求不等式f（x）+f（5-x）≥-2的解集．

Answer

利用条件（1）（3）推出函数在（0，+∞）上单调递减，注意到f（4）=-2，利用函数的单调性解出不等式．
【解析】
需先研究y=f（x）的单调性，任取x1、x2∈（0，+∞）且x1＞x2，则＞1．
f（x1）=f（•x2）=f（）+f（x2），
∴f（x1）-f（x2）=f（）＜0．
∴f（x）在（0，+∞）上为减函数．
又f（1）=f（1）+f（1），则f（1）=0．
又∵f（1）=f（2）+f（）=f（2）+1=0．
∴f（2）=-1．∴f（4）=2f（2）=-2．
∴原不等式等价于
解得{x|0＜x≤1或4≤x＜5}．