Question

已知函数f（x）=（2^x-a）²+（2^-x+a）²，x∈[-1，1]．关于x的方程f（x）=2a²有解，则实数a的取值范围是    ．

Answer

先把函数f（x）化简为f（x）=（2x-2-x）2-2a（2x-2-x）+2a2+2的形式，令t=2x-2-x，则f（x）可看作关于t的二次函数，并根据x的范围求出t的范围．
关于x的方程f（x）=2a2有解，即方程t2-2at+2=0在[-，]上有解，又t≠0，把t与a分离，通过导数求出关于t的函数的范围即可得到a的范围．
【解析】
f（x）=（2x-a）2+（2-x+a）2=（（2x-2-x）2-2a（2x-2-x）+2a2+2，
令t=2x-2-x，∵x∈[-1，1]，∴t∈[-，]，
则f（x）=t2-2at+2a2+2，f（x）=2a2即t2-2at+2=0，显然t≠0，
∴2a=，=1-=，
当t∈（0，）时，＜0，当t∈（，）时，＞0，
∴当t∈（0，]时，t++=2，
又t∈[-，0）∪（0，]时，t+为奇函数，
∴t∈[-，0]时，t≤-2．
∴实数a的取值范围为（-∞，-]∪[，+∞）．
故答案为：（-∞，-]∪[，+∞）．