Question

设函数f_n（x）=xⁿ+bx+c（n∈N₊，b，c∈R）
（1）设n＞2，b=1，c=-1，证明：f_n（x）在区间（，1）内存在唯一的零点；
（2）设n为偶数，|f_n（-1）|≤1，|f_n（1）|≤1，求3b+c的最小值和最大值；
（3）设n=2，若对任意x₁，x₂∈[-1，1]，有|f₂（x₁）-f₂（x₂）|≤9，求b的取值范围．

Answer

（1）将n＞2，b=1，c=-1代入可得fn（x）=xn+x-1，结合指数函数的性质可得fn′（x）=nxn-1+1＞0在（，1）上恒成立，进而判断出函数在区间上单调，分析区间两端点的函数值符号关系，进而根据零点存在定理，可得答案．
（2）由，|fn（-1）|≤1，|fn（1）|≤1，利用待定系数法结合不等式的基本性质，可得3b+c的范围，进而求出3b+c的最小值和最大值；
（3）将n=2，根据|f2（x1）-f2（x2）|≤9，分类讨论不同情况下b的取值范围，综合讨论结果，可得b的取值范围．
【解析】
（1）由n＞2，b=1，c=-1，得fn（x）=xn+x-1
∴fn′（x）=nxn-1+1＞0在（，1）上恒成立，
从而fn（x）=xn+x-1在（，1）单调递增，
又fn（1）=1＞0，fn（）=（）n-＜（）2-＜0，
即fn（x）在区间（，1）内存在唯一的零点．
（2）因为|fn（-1）|≤1⇒-1≤1-b+c≤1⇒0≤b-c≤2
|fn（1）|≤1⇒-1≤1+b+c≤1⇒-2≤b+c≤0
又∵3b+c=（b-c）+2（b+c）
∴-4≤3b+c≤2
即3b+c的最小值为-4，最大值为2
（3）当n=2时，f2（x）=x2+bx+c
（Ⅰ）当b≥2或b≤-2时，即≤-1或≥1，此时
只需满足|f2（1）-f2（-1）|=|2b|≤9
∴-≤b≤，
即b∈[-，-2]∪[2，]
（Ⅱ）当0≤b＜2时，即-1＜≤0，此时
只需满足f2（1）-f2（）≤9，即b2+4b-32≤0
解得：-8≤b＜4，
即b∈[0，2）
（Ⅲ）当-2＜b＜0时，即0＜＜1，此时
只需满足f2（-1）-f2（）≤9，即b2-4b-32≤0
解得：-4≤b≤8，
即b∈（-2，0）
综上所述：b∈[-，]