Question

已知f（x）=|x²-4x-5|
（1）求函数f（x）的零点；
（2）讨论方程|x²-4x-5|=K（K∈R）的解的情况．

Answer

（1）根据函数零点与方程根之间的关系，解方程|x2-4x-5|=0，即可求出函数f（x）的零点；
（2）根据二次函数的图象和性质及对折变换法则，我们易画出函数f（x）的图象，根据图象，分别讨论f（x）=|x2-4x-5|的图象与y=k交点的个数，即可得到方程|x2-4x-5|=k的解的情况．
【解析】
（1）令f（x）=|x2-4x-5|=0
即x2-4x-5=0
解得x=-1，或x=5，
即函数f（x）的零点为-1和5．
（2）函数f（x）的图象如图所示：

由图得：
当k＜0时，f（x）=|x2-4x-5|的图象与y=k无交点，则方程|x2-4x-5|=k无解；
当k=0，或k＞9时，f（x）=|x2-4x-5|的图象与y=k有两个交点，则方程|x2-4x-5|=k有两解；
当0＜k＜9时，f（x）=|x2-4x-5|的图象与y=k有四个交点，则方程|x2-4x-5|=k有四解；
当k=9时，f（x）=|x2-4x-5|的图象与y=k有三个交点，则方程|x2-4x-5|=k有三解．