Question

已知函数f（x）=ax²+2ax+1，
（1）当a=1时，求f（x） 在区间[-3，2]上的值域；
（2）若f（x）在区间[-3，2]上的最大值为4，求实数a的值．

Answer

（1）先配方f（x）=x2+2x+1=（x+1）2，可知函数f（x）在[-3，-1]上递减，在[-1，2]上递增，从而可求f（x） 在区间[-3，2]上的值域；
（2）由于二次函数的最值与图象的开口方向、对称轴及区间有关，故要进行分类讨论：①当a＞0时，因对称轴为x=-1，f（2）=4；②当a＜0时，因对称轴为x=-1，f（-1）=4；③当a=0时，f（x）=1，不成立．故可求实数a的值．
【解析】
（1）f（x）=x2+2x+1=（x+1）2
∴函数f（x）在[-3，-1]上递减，在[-1，2]上递增，
所以ymin=f（-1）=0，ymax=f（2）=9，
所以f（x） 在区间[-3，2]上的值域为[0，9]．
（2）①当a＞0时，因对称轴为x=-1，f（2）=4，得．
②当a＜0时，因对称轴为x=-1，f（-1）=4，得a=-3．
③当a=0时，f（x）=1，不成立．
由①②③得或a=-3