Question

已知函数是奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）判断函数f（x）在R上的单调性并用定义法证明；
（3）若对任意x∈R⁺不等式恒成立，求实数m的范围．

Answer

（1）利用奇函数的定义，列出等式，即可求实数a的值；
（2）化简函数，求得函数的单调性，再利用定义进行证明；
（3）先化为具体不等式，再分离参数求最值，即可求实数m的范围．
【解析】
（1）由题意，f（-x）=-f（x），
∴=-
∴=-
∴a=-1；
（2）在R上为减函数，证明如下：
设x1＜x2，则=
∵x1＜x2，∴＞0
∴f（x1）-f（x2）＞0
∴f（x1）＞f（x2）
∴f（x）在R上为减函数；
（3）不等式恒成立，等价于
∵f（x）在R上为减函数
∴
∴
∵x＞0，∴
∴
∴0≤m≤．