Question

已知f（x）是奇函数，当x＞0时，
（I）当x＜0时，求f（x）的解析式；
（II）用定义证明：f（x）在（0，+∞）上是减函数．

Answer

（I）设x＜0时，则-x＞0，代入已知由函数的奇偶性可得解析式；
（II）设x1，x2是（0，+∞）上的任意两个实数，且x1＜x2，可判f（x1）-f（x2）＞0，由单调性的定义可得．
【解析】
（I）当x＜0时，-x＞0，可得，
由于f（x）是奇函数，于是f（-x）=-f（x），
所以当x＜0时，．                               （4分）
（II）证明：设x1，x2是（0，+∞）上的任意两个实数，且x1＜x2，
则
由0＜x1＜x2，得x2-x1＞0，（x1+1）（x2+1）＞0，
于是f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）
所以函数在（0，+∞）上是减函数．                    （8分）