Question

设函数y=f（x）定义在R上，且满足f（x）≠0，对于任意实数m，n，恒有f（m+n）=f（m）•f（n），且当x＞0时，0＜f（x）＜1．
（1）求证：对x∈R，都有f（x）＞0；
（2）求证：f（x）在R上是减函数；
（3）设集合A={（x，y）|f（-x²+6x-1）•f（y）=1}，B={（x，y）|y=a}，且A∩B=∅，求实数a的取值范围．

Answer

（1）根据当x＞0时，0＜f（x）＜1，只需说明当x=0时f（x）＞0，以及当x＜0时f（x）＞0即可；
（2）任取x1，x2∈R，且x1＜x2，然后利用对于任意实数m，n，恒有f（m+n）=f（m）•f（n）则，从而确定f（x1）与f（x2）的大小，根据函数单调性的定义进行判定即可；
（3）先化简集合A即A={（x，y）|y=x2-6x+1}，集合A表示抛物线上的点，结合B表示直线上的点，根据A∩B=∅可得方程x2-6x+1-a=0无实数根，利用判别式可得所求．
（1）证明：令m=n=0得f（0）=f2（0）
∴f（0）=0或f（0）=1
又∵f（x）≠0
∴f（0）=1
当x＜0时，-x＞0，
∴0＜f（-x）＜1
∴f（0）=f（x-x）=f（x）•f（-x）=1
∴
∴x＜0时f（x）＞1
∴对x∈R，都有f（x）＞0
（2）证明：任取x1，x2∈R，且x1＜x2
则x1-x2＜0，
∴f（x1-x2）＞1
则
又∵f（x1）＞0，f（x2）＞0
∴f（x1）＞f（x2）
∴f（x）在R上是减函数
（3）【解析】
A={（x，y）|f（-x2+6x-1）•f（y）=1}

∵A∩B=∅
∴方程x2-6x+1-a=0无实数根
∴△=36-4（1-a）=32+4a＜0
∴a＜-8