Question

已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（2）=0，当x＞0时，有xf′（x）-f（x）＜0成立，则不等式x²•f（x）＞0的解集是（ ）
A．（-2，0）∪（2，+∞）
B．（-∞，-2）∪（2，+∞）
C．（-2，0）∪（0，2）
D．（-∞，-2）∪（0，2）

Answer

令g（x）=，依题意，可求得0＜x＜2或x＜-2时f（x）＞0，从而可求得不等式x2•f（x）＞0的解集．
【解析】
g（x）=，
则g′（x）=，
∵当x＞0时，有xf′（x）-f（x）＜0成立，
∴当x＞0时，g′（x）＜0，
∴g（x）=在（0，+∞）上单调递减，
∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（2）=0，
∴g（-x）===g（x），
∴g（x）为偶函数，且g（2）=0，
∴当0＜x＜2时，g（x）＞0，于是此时f（x）＞0；
同理可得，当x＜-2时，g（x）＜0，于是此时f（x）＞0；
∴f（x）＞0的解集为{x|x＜-2或0＜x＜2}
∴不等式x2•f（x）＞0的解集就是f（x）＞0的解集，为{x|x＜-2或0＜x＜2}．
故选D．