Question

已知函数f（x）=ax³+b，其图象在点P处的切线为l：y=4x-4，点P的横坐标为2（如图）．求直线l、直线x=0、直线y=0以及f（x）的图象在第一象限所围成区域的面积．

Answer

先利用导数求出该点的斜率，然后求出切点的坐标，得出函数的解析式，最后根据定积分即可求出直线l、直线x=0、直线y=0以及f（x）的图象在第一象限所围成区域的面积．
【解析】
f′（x）=3ax2．∴f′（2）=12a，
切线的斜率 k=12a，∵切线方程为：y=4x-4，∴切点坐标为了（2，4）
∴12a=4，∴a=，且f（2）=ax3+b=4，∴b=，
即，
直线l：y=4x-4与x轴的交点的横坐标为1，
所以直线l、直线x=0、直线y=0以及f（x）的图象在第一象限所围成区域的面积为：

=
=+++-2×22-（+-2）=2．