Question

已知x=3是函数f（x）=（x²+ax+b）e^3-x，（x∈R）的一个极值点．
（Ⅰ）求a与b的关系式（用a表示b），并求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当a＞0时，求f（x）在[0，4]上的值域．

Answer

（Ⅰ）求出f′（x），因为x=3是函数f（x）的一个极值点得到f′（3）=0即可得到a与b的关系式；令f′（x）=0，得到函数的极值点，用a的范围分两种情况分别用极值点讨论得到函数的单调区间；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a＞0时，f（x）在区间（0，3）上的单调递增，在区间（3，4）上单调递减，得到f（x）在区间[0，4]上的值域．
【解析】
（Ⅰ）f'（x）=（2x+a）e3-x-（x2+ax+b）e3-x=-[x2+（a-2）x+b-a]e3-x
由f'（3）=0得b=-3-2a…3
f'（x）=-（x-3）（x+a+1）e3-x
（1）当-a-1＞3，即a＜-4时，
令f'（x）＞0得3＜x＜-a-1
令f'（x）＜0得x＜3或x＞-a-1．
（2）当-a-1=3，即a=-4时，f'（x）=-（x-3）2e3-x，
由于-（x-3）2≤0，且e3-x＞0，
故f'（x）=-（x-3）2e3-x≤0恒成立；
（3）当-a-1＜3，即a＞-4时，
令f'（x）＞0得-a-1＜x＜3
令f'（x）＜0得x＜-a-1或x＞3，
综上述：
（1）当a＜-4时f（x）的单调递增区间为（3，-a-1），递减区间（-∞，3），（-a-1，+∞）
（2）当a＞-4时f（x）的单调递增区间为（-a-1，3），递减区间（-∞，-a-1），（3，+∞）
（3）当a=-4时f（x）在（-∞，+∞）上单调递减．…8
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a＞0时，f（x）在区间（0，3）上的单调递增，在区间（3，4）上单调递减，
那么f（x）在区间[0，4]上的值域是[min（f（0），f（4）），f（3）]，
而f（0）=-（2a+3）e3＜0，f（4）=（2a+13）e-1＞0，f（3）=a+6，
那么f（x）在区间[0，4]上的值域是[-（2a+3）e3，a+6]．