Question

设f（x）是定义在R上的增函数，且对于任意的x都有f（1-x）+f（1+x）=0恒成立，如果实数m，n满足不等式组，则m²+n²的取值范围为（ ）
A．（3，7）
B．（9，25）
C．（13，49）
D．（9，49）

Answer

由f（1-x）+f（1+x）=0恒成立，可将不等式可化为f（m2-6m+23）＜f（2-n2+8n），利用f（x）的单调性，可化为关于m的整式不等式（m-3）2+（n-4）2＜4，分析（m-3）2+（n-4）2＜4的几何意义，即可求得m2+n2 的取值范围．
【解析】
∵对于任意的x都有f（1-x）+f（1+x）=0恒成立
∴f（1-x）=-f（1+x）
∵f（m2-6m+23）+f（n2-8n）＜0，
∴f（m2-6m+23）＜-f[（1+（n2-8n-1）]，
∴f（m2-6m+23）＜f[（1-（n2-8n-1）]=f（2-n2+8n）
∵f（x）是定义在R上的增函数，
∴m2-6m+23＜2-n2+8n
∴（m-3）2+（n-4）2＜4（m＞3）
∵（m-3）2+（n-4）2=4的圆心坐标为：（3，4），半径为2
∴（m-3）2+（n-4）2=4（m＞3）内的点到原点距离的取值范围为（，5+2），即（，7）
∵m2+n2 表示（m-3）2+（n-4）2=4内的点到原点距离的平方
∴m2+n2 的取值范围是（13，49）．
故选C．