Question

等比数列{a_n}的前n项和为S_n，已知对任意的n∈N^*，点（n，S_n），均在函数y=b^x+r（b＞0）且b≠1，b，r均为常数）的图象上．
（1）求r的值；
（2）当b=2时，记b_n=（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer

（1）由“对任意的n∈N+，点（n，Sn），均在函数y=bx+r（b＞0，且b≠1，b，r均为常数）的图象上”可得到Sn=bn+r，依次求出a1、a2、a3，由等比数列的性质（a2）2=a1×a3，解可得答案．
（2）结合（1）可知an=（b-1）bn-1=2n-1，从而bn=，符合一个等差数列与等比数列相应项之积的形式，用错位相减法求解即可．
【解析】
因为对任意的n∈N+，点（n，Sn），均在函数y=bx+r（b＞0，且b≠1，b，r均为常数）的图象上．
所以得Sn=bn+r，
当n=1时，a1=S1=b+r，
a2=S2-S1=b2+r-（b1+r）=b2-b1=（b-1）b，
a3=S3-S2=b3+r-（b2+r）=b3-b2=（b-1）b2，
又因为{an}为等比数列，所以（a2）2=a1×a3，
解可得r=-1，
（2）当b=2时，an=（b-1）bn-1=2n-1，bn=
则Tn=
Tn=
相减，得Tn=
+=
所以Tn=