Question

已知函数f（x）=x³-ax²-3x
（1）若x=-是f（x）的极值点，求f（x）在[1，a]上的最大值；
（2）若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围．

Answer

（1）求出函数的导数，利用x=-是f（x）的极值点，求出a的值，通过函数的单调性，求出函数的最大值．
（2）利用函数在区间上是单调增函数，导数大于等于0恒成立，推出关系式，求出a的范围即可．
【解析】
（1）f′（x）=3x2-2ax-3，
∵x=-是f（x）的极值点，∴，即，解得a=4．
经验证a=4满足题意．
∴f（x）=x3-4x2-3x，f′（x）=3x2-8x-3，
令f′（x）=（3x+1）（x-3）=0，解得x=．
∴当x或x＞3时，f′（x）＞0，因此函数f（x）在区间或（3，+∞）上单调递增；
当时，f′（x）＜0，因此函数f（x）在区间上单调递减．
∴函数f（x）在[1，3]上单调递减，在区间[3，4]上单调递增．
又f（1）=-6，f（4）=-12．
∴f（x）在[1，4]上的最大值为f（1）=-6．
（2）∵函数f（x）在区间[1，+∞）是增函数，
∴f′（x）=3x2-2ax-3≥0在[1，+∞）上恒成立，
则或△＜0，解得a≤0．