Question

不等式x²-2x-3＜0成立的一个必要不充分条件是（ ）
A．-1＜x＜3
B．0＜x＜3
C．-2＜x＜3
D．-2＜x＜1

Answer

根据一元二次不等式的解法，可得x2-2x-3＜0的解集为{x|-1＜x＜3}，进而依次分析选项，判断选项所给的不等式与-1＜x＜3的关系，可得A中“-1＜x＜3”是“x2-2x-3＜0”成立的充要条件，B中“-1＜x＜3”是“x2-2x-3＜0”成立的充分不必要条件，C中“-1＜x＜3”是“x2-2x-3＜0”成立的必要不充分条件，D中“-1＜x＜3”是“x2-2x-3＜0”成立的既不充分，又不必要条件，进而可得答案．
【解析】
对于不等式x2-2x-3＜0，解可得-1＜x＜3，即x2-2x-3＜0的解集为{x|-1＜x＜3}，
根据题意，分析选项可得，
A中，当-1＜x＜3时，必有x2-2x-3＜0成立，反之若有x2-2x-3＜0成立，则-1＜x＜3也成立，即“-1＜x＜3”是“x2-2x-3＜0”成立的充要条件，不合题意；
B中，当0＜x＜3时，必有x2-2x-3＜0成立，反之若有x2-2x-3＜0成立，则0＜x＜3不一定成立，如x=-0.5时，即“-1＜x＜3”是“x2-2x-3＜0”成立的充分不必要条件，不合题意；
C中，当-2＜x＜3时，x2-2x-3＜0不一定成立，如x=-1.5时，反之若有x2-2x-3＜0成立，则必有-2＜x＜3成立，即“-1＜x＜3”是“x2-2x-3＜0”成立的必要不充分条件，符合题意；
D中，当-2＜x＜1时，x2-2x-3＜0不一定成立，如x=-1.5时，反之若有x2-2x-3＜0成立，则-2＜x＜3不一定成立，如x=2时，即“-1＜x＜3”是“x2-2x-3＜0”成立的既不充分，又不必要条件，不合题意；
故选C．