Question

已知△ABC三内角A、B、C所对边分别为a，b，c面积为S且满足2S=c²-（a-b）²和a+b=2．
（1）求sinC的值；
（2）求三角形面积S的最大值．

Answer

（1）由正弦定理关于面积的公式代入题中等式化简整理，可得a2+b2-c2=ab（2-sinC），再结合余弦定理代入得2-sinC=
2cosC，结合同角三角函数的平方关系即可解出sinC=；
（2）由基本不等式，得ab≤（）2=1，再用正弦定理关于面积的公式即可求出当且仅当a=b=1时，△ABC面积S的最大值为．
【解析】
（1）根据题意，得
∵S=absinC，且2S=c2-（a-b）2
∴c2-（a-b）2=absinC，化简得a2+b2-c2=ab（2-sinC）
∵根据余弦定理，得a2+b2-c2=2abcosC，
∴2-sinC=2cosC，与sin2C+cos2C=1消去cosC，
得sin2C-sinC=0，
∵C是三角形内角，得sinC是正数
∴sinC-1=0，解之得sinC=；
（2）∵边a、b满足a+b=2
∴ab≤（）2=1，得ab的最大值为1（当且仅当a=b=1时取等号）
因此，△ABC面积S=absinC≤sinC=
∴当且仅当a=b=1时，△ABC面积S的最大值为