Question

设函数f（x）=，其中=（2cosx，1）=（cosx，sin2x），x∈R．
（1）求函数f（x）在区间上的单调递增区间；
（2）求f（x） 在上取的最大值时向量与的夹角；
（3）若函数y=2sin2x的图象按向量=（m，n）（|m|＜）平移后得到函数y=f（x）的图象，求m，n的值．

Answer

（1）利用两个向量的数量积公式求得f（x）=1+2sin（2x+），令 2kπ-≤（2x+）≤2kπ+，k∈z，求得函数的增区间，由此可得函数f（x）在区间上
的单调递增区间．
（2）根据 x∈，求得f（x）=1+2sin（2x+） 的最大值，以及此时对应的x值，根据cos＜，＞= 的值，求得＜，＞的值．
（3）把函数y=2sin2x的图象按向量=（m，n）平移后得到函数y=2sin2（x-m）+n的图象，此图象与函数f（x）=1+2sin（2x+） 的图象重合，从而求得m，n的值．
【解析】
（1）由题意可得函数f（x）==2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x=1+2sin（2x+），
令 2kπ-≤（2x+）≤2kπ+，k∈z，求得 kπ-≤x≤kπ+，k∈z，故函数的增区间为[kπ-，kπ+]，k∈z，
故函数f（x）在区间上的单调递增区间为 ．
（2）由于f（x）=1+2sin（2x+），当 x∈时，有2x+∈[-，]，故当2x+=时，函数取得最大值为3．
此时，x=，中=（2cosx，1）=（，1 ），=（cosx，sin2x）=（，），
cos＜，＞===，故＜，＞=．
（3）把函数y=2sin2x的图象按向量=（m，n）（|m|＜）平移后得到函数y=2sin2（x-m）+n的图象，此图象与函数f（x）=1+2sin（2x+） 的图象重合，
故有-m=，n=1，即 m=-，n=1．