Question

已知函数f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若m，n∈[-1，1]，m+n≠0时，有，若f（x）≤t²-2at+1对所有x∈[-1，1]，t∈[0，1]恒成立，则实数a的取值范围是    ．

Answer

先由单调性定义判断和证明f（x）在[-1，1]上为增函数，从而求得f（x）的最大值，再转化为关于a的不等式恒成立问题求解．
【解析】
任取-1≤x1＜x2≤1，则
f（x1）-f（x2）=f（x1）+f（-x2）=•（x1-x2）
∵-1≤x1＜x2≤1，∴x1+（-x2）≠0，
由已知＞0，又x1-x2＜0，
∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
所以f（x）在[-1，1]上为增函数．
∵f（1）=1，∴对x∈[-1，1]，恒有f（x）≤1．
所以要使f（x）≤t2-2at+1对所有x∈[-1，1]，t∈[0，1]恒成立，
即要t2-2at+1≥1成立，故t2-2at≥0成立．
∵t∈[0，1]，
∴t≠0时2a≤t，即a≤，解得a∈（-∞，0]．
t=0时，a∈R，
综上，a∈（-∞，0]．
故答案为：（-∞，0]．