由函数y=f(x+1)-1为奇函数,结合奇函数的定义列式,可证出y=f(x)的图象关于点P(1,1)对称,故(1)正确;求出函数g(x)在x∈(-∞,0)时的表达式,根据对数函数的单调性得到g(x)<1恒成立,故(2)不正确;由以上的讨论,得到函数y=f(x)的表达式,再结合对数函数的图象与性质对f(x)的进行讨论,可得(3)也是正确的.由此不难得到正确选项.
【解析】
∵函数y=f(x+1)-1为奇函数,
∴f(-x+1)-1=-[f(x+1)-1],即f(1+x)+f(1-x)=2,
可得y=f(x)的图象关于点P(1,1)对称,故(1)正确;
∵f(1+x)+f(1-x)=2,得f(x)=2-f(2-x)
∴当x<1时,f(x)=g(x)=2-[1+lg(1-x)]=1-lg(1-x)
因此当x∈(-∞,0)时,lg(1-x)>lg1=0,可得g(x)<1
所以g(x)>0不能恒成立,故(2)不正确;
由以上的分析可得:
结合对数函数图象与性质可得:函数y=f(x)在(1,+∞)上为增函数,在(-∞,1)上为增函数,
函数y=f(x)的图象以x=1为渐近线,且在渐近线的两侧y的取值都是(-∞,+∞)
关于x的方程f(x)=a,a∈R有且只有两个实根,故(3)正确.
综上所述,正确的选项是(1)、(3)
故选C