Question

已知函数f（x）=（x²+ax+a）e^x（x∈R）
（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若a≤2，且f（x）的极大值为3，求出a的值．

Answer

（Ⅰ）当a=1时，f′（x）=（x2+3x+2）ex，令f′（x）=0，得x1=-1，x2=-2，列表讨论能求出f（x）的增区间和减区间．
（Ⅱ）由f（x）=（x2+ax+a）ex（x∈R），知f′（x）=[x2+（2+a）x+2a]ex，令f′（x）=0，得x1=-a，x2=-2，由a≤2，且f（x）的极大值为3，能求出实数a的值．
【解析】
（Ⅰ）当a=1时，f（x）=（x2+x+1）ex，
∴f′（x）=（2x+1）ex+（x2+x+1）ex
=（x2+3x+2）ex，
令f′（x）=0，得x1=-1，x2=-2，
列表讨论

 x  （-∞，-2） -2 （-2，-1） -1  （-1，+∞）
 f′（x） +  0 -  0 +
 f（x） ↑  极大值 ↓  极小值 ↑

∴f（x）的增区间是（-∞，-2），（-1，+∞）；减区间是（-2，-1）．
（Ⅱ）∵f（x）=（x2+ax+a）ex（x∈R），
∴f′（x）=（2x+a）ex+（x2+ax+a）ex
=[x2+（2+a）x+2a]ex，
令f′（x）=0，得x1=-a，x2=-2，
∵a≤2，∴-a≥-2，列表讨论

 x  （-∞，-2） -2 （-2，-a）  -a  （-a，+∞）
 f′（x） +  0 -  0 +
 f（x） ↑  极大值 ↓  极小值 ↑

∴x=-2时，f（x）取极大值f（-2）=（4-2a+a）e-2=（4-a）e-2，
∵a≤2，且f（x）的极大值为3，
∴（4-a）e-2=3，
∴a=4-3e2．