Question

设f（x）是定义在R上的偶函数，且对于任意x∈R都有f（x+1）=f（x-1）．且在区间[2，3]上，f（x）=-2（x-3）²+4．
（1）求的值；
（2）求出曲线y=f（x）在点处的切线方程；
（3）若矩形ABCD的两顶点A、B在x轴上，两顶点C、D在函数y=f（x）（0≤x≤2）的 图象上，求这个矩形面积的最大值．

Answer

（1）根据对于任意x∈R都有f（x+1）=f（x-1）可以求得函数周期为2，再由f（x）在区间[2，4]上，f（x）=-2（x-3）2+4上的解析式，求出函数在[0，2]上的解析式，直接代入求解；
（2）求出点，对f（x）进行求导，根据导数与斜率的关系，求出直线的斜率，从而根据点斜式求出切线方程；
（3）已知矩形ABCD的两顶点A、B在x轴上，两顶点C、D在函数y=f（x）（0≤x≤2）的 图象上，可以求出直线在[0，2]上的解析式，设出A，B两点，根据矩形面积公式代入求出S，再利用导数求其最大值；
【解析】
（1）∵任意x∈R都有f（x+1）=f（x-1），可得f（x+2）=f（x），函数周期为2，
对设0≤x≤2，2≤x+2≤4，
可得f（x）=f（x+2）=-2（x-1）2+4，
∴=-2（-1）2+4=；
（2）曲线y=f（x）在点（，-），f′（x）=-4（x-3），可以k=f′（）=-4（-3）=6，
∴曲线y=f（x）在点处的切线方程，
y-（-）=6（x-），化简得，y=6x-；
（3）矩形ABCD的两顶点A、B在x轴上，
两顶点C、D在函数y=f（x）（0≤x≤2）的 图象上，
可以设C（x2，y2），D（x1，y1），x2＞x1，A的横坐标为x1，B的横坐标为x2，
可知f（x）在区间[0，2]上，f（x）=f（x+2）=-2（x-1）2+4，
∵C（x2，y2），D（x1，y1），
∴矩形的面积为S=（x2-x1）y1=（x2-x1）[-2（x-1）2+4]，
∵x1+x2=2，可得x2=2-x1，0＜x1＜1，
∴S=（x2-x1）[-2（x-1）2+4]=（2-x1）[-2x12-2+4x1+4]=（2x1-2）（2x12-4x1-2）=4x13-12x12+4x1+4
∴S′=12x12-24x1+4=4（3x12-6x1+1）=0，
∴x1==1±，
当x＞1+或x＜1-时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，
当1-＜x＜1+时，f′（x）＜0，f（x）为增函数，
∴f（x）在x=1-处取得极大值也是最大值，
∴f（x）max=f（1-）=[2-2（1-）][-2（1--1）2+4]==，
∴这个矩形面积的最大值为：；