Question

某工厂生产某种产品，每日的成本C（单位：元）与日产里x（单位：吨）满足函数关系式C=10000+20x，每日的销售额R（单位：元）与日产量x满足函数关系式

已知每日的利润y=R-C，且当x=30时y=-100．
（I）求a的值；
（II）当日产量为多少吨时，毎日的利润可以达到最大，并求出最大值．

Answer

（I）根据每日的利润y=R-C建立函数关系式，然后根据当x=30时y=-100可求出a的值；
（II）当0＜x＜120时，利用导数研究函数的单调性，从而求出函数的最大值，当x≥120时，根据一次函数的单调性求出最大值，比较可求出所求．
【解析】
（I）由题意可得：y=
∵当x=30时y=-100
∴-100=-×303+a×302+270×30-10000
解得 a=3
（II）当0＜x＜120时，y=-×x3+3x2+270x-10000
y′=-x2+6x+270
由y′=-x2+6x+270=0可得：x=90或x=-30（舍）
所以当x∈（0，90）时，原函数是增函数，当x∈（90，120）时，原函数是减函数
所以当x=90时，y取最大值14300
当x≥120时，y=10400-20x≤8000
所以当日产量为90吨时，每日的利润可以达到最大值14300元．