Question

如图，F₁，F₂是双曲线C：的左右焦点，过F₁的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点．若△ABF₂为等边三角形，则双曲线的离心率为    ．

Answer

设△ABF2的边长为m，则由双曲线的定义，△ABF2为等边三角形，可求m的值，在△AF1F2中，由余弦定理，可得结论．
【解析】
设△ABF2的边长为m，则由双曲线的定义，可得|BF1|=m-2a
∴|AF1|=2m-2a
∵|AF1|-|AF2|=2a
∴2m-2a-m=2a
∴m=4a
在△AF1F2中，|AF1|=6a，|AF2|=4a，|F1F2|=2c，∠F1AF2=60°
∴由余弦定理可得4c2=（6a）2+（4a）2-2•6a•4a•
∴c=a
∴=
故答案为：．