Question

动圆P过定点F（1，0）且与直线x=-1相切，圆心P的轨迹为曲线C，过F作曲线C两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD的中点分别为M、N．
（1）求曲线C的方程；
（2）求证：直线MN必过定点．

Answer

（1）由动圆P过定点F（1，0）且与直线x=-1相切，可得点P到定点F的距离等于到定直线x=-1的距离，利用抛物线的定义，可求曲线C的方程；
（2）求出M，N的坐标，可得直线MN的方程，即可得到结论．
【解析】
（1）∵动圆P过定点F（1，0）且与直线x=-1相切，
∴点P到定点F的距离等于到定直线x=-1的距离，
∴点P的轨迹为抛物线，曲线C的方程为y2=4x；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=k（x-1），代入y2=4x可得k2x2-2（k2+2）x+k2=0
∴x1+x2=
∴xM=，∴yM=k（xM-1）=
∴M（，）
∵AB⊥CD，∴将M坐标中的k换成-，可得N（2k2+1，-2k）
∴直线MN的方程为y+2k=（x-2k2-1）
整理得（1-k2）y=k（x-3）
∴不论k为何值，直线MN必过定点T（3，0）．