Question

设函数，，（其中e为自然底数）；
（Ⅰ）求y=f（x）-g（x）（x＞0）的最小值；
（Ⅱ）探究是否存在一次函数h（x）=kx+b使得f（x）≥h（x）且h（x）≥g（x）对一切x＞0恒成立；若存在，求出一次函数的表达式，若不存在，说明理由；
（Ⅲ）数列{a_n}中，a₁=1，a_n=g（a_n-1）（n≥2），求证：．

Answer

（1）表示出y=f（x）-g（x），用导数判断其单调性，根据单调性即可求出最小值；
（2）由（Ⅰ）知f（）=g（）=，从而得h（）=，于是h（x）可表示为关于k的一次函数，根据f（x）≥h（x）恒成立可求得k值，从而可求得h（x）表达式，再验证h（x））≥g（x）对一切x＞0恒成立即可；
（3）由（Ⅱ）先证{an}递减且＜an＜1（n≥2），然后进行放缩：（ak-ak+1）•ak+1＜=，求和利用上述结论即可证明；
【解析】
（Ⅰ）y=f（x）-g（x）的定义域为{x|x＞0}，y=f（x）-g（x）=，
y′=2x-=，易知0＜x＜时y′＜0，x＞时y′＞0，
所以y=f（x）-g（x）在（0，）上递减，在（，+∞）上递增，
所以x=时y=f（x）-g（x）取得最小值为0．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（）=g（）=，所以h（）=，
所以可设h（x）=kx+-，代入f（x）≥h（x），得-≥0恒成立，
所以△=（k-1）2≤0，所以k=1，h（x）=x，
设G（x）=x-ln（2ex），则G′（x）=1-，
当0＜x＜时G′（x）＜0，当x＞时G′（x）＞0，易知G（x）≥G（）=0，即h（x）≥g（x）对一切x＞0恒成立；
综上，存在h（x）=x符合题目要求，它恰好是y=f（x），y=g（x）图象的公切线．
（Ⅲ） 先证 {an}递减且＜an＜1（n≥2）；
由（Ⅱ）知g（x）≤x，所以an=g（an-1）≤an-1，即{an}为递减数列；
又a1=1，，所以，…
因为当ak＞时总有，
所以＜…＜an＜an-1＜…＜a1=1；
所以＜==＜=．