Question

若f（x）=lg（x²-2ax+1+a）在区间（-∞，1]上递减，则a的取植范围为（ ）
A．[1，2）
B．[1，2]
C．[1，+∞）
D．[2，+∞）

Answer

由题意，在区间（-∞，1]上，a的取值需令真数x2-2ax+1+a＞0，且函数u=x2-2ax+1+a在区间（-∞，1]上应单调递减，这样复合函数才能单调递减．
【解析】
令u=x2-2ax+1+a，则f（u）=lgu，
配方得u=x2-2ax+1+a=（x-a）2 -a2+a+1，故对称轴为x=a，如图所示：

由图象可知，当对称轴a≥1时，u=x2-2ax+1+a在区间（-∞，1]上单调递减，
又真数x2-2ax+1+a＞0，二次函数u=x2-2ax+1+a在（-∞，1]上单调递减，
故只需当x=1时，若x2-2ax+1+a＞0，
则x∈（-∞，1]时，真数x2-2ax+1+a＞0，
代入x=1解得a＜2，所以a的取值范围是[1，2）
故选A．