Question

设向量（n∈N^*），函数在[0，1]上的最大值与最小值的和为a_n，又数列{b_n}满足：nb₁+（n-1）b₂+…+2b_n-1+b_n=．
（1）求a_n、b_n的表达式．
（2）C_n=-a_nb_n，问数列{c_n}中是否存在正整数k，使得对于任意的正整数n，都有C_n≤C_k成立，若存在，求出k的值，若不存在，说明理由．

Answer

（1）由向量的数量积写出函数y，函数是二次函数，求出函数在[0，1]上的最值，则an可求，然后在给出的递推式中取n=n-1再写出一个，两式相减可得数列{bn}的前n项和，则bn可求；
（2）把an、bn代入cn的表达式后化为关于n的函数，由函数式的值等于0分析n的取值．
解；（1）=（x，2）（x+n，2x-1）=x2+（n+4）x-2，对称轴为，所以函数在[0，1]上递增，
当x=0时，ymin=-2，当x=1时，ymax=n+3，∴an=-2+n+3=n+1．
又因为nb1+（n-1）b2+…+2bn-1+bn=                   ①
令n=n-1，则     ②
①-②得：b1+b2+…+bn-1+bn=
所以
当n=1时，b1=S1=1，
当n≥2时，=
所以
（2），设存在正整数k，使得对于任意的正整数n，都有Cn≤Ck成立，
因为，所以C2＞C1，
当n≥2时，，所以当n＜8时，Cn+1＞Cn
当n=8时，Cn+1=Cn，当n＞8时，Cn+1＜Cn
∴C1＜C2＜…＜C8=C9＞C10＞…，
∴存在正整数k=8或9，使得对于任意的正整数n，都有Cn≤Ck成立．