Question

已知函数f（x）是（-∞，+∞）上的偶函数，若对于x≥0，都有f（x+2）=-f（x），且当x∈[0，2）时，f（x）=log（x+1），则f（-2001）+f（2012）（ ）
A．1+log₂3
B．-1+log₂3
C．-1
D．1

Answer

由f（x+2）=-f（x）变形得到f（x+4）=f（x），说明当x≥0时函数是以4为周期的周期函数，运用周期函数的概念和函数是偶函数把要求的函数值转化为求[0，2）内的函数值．
【解析】
当x≥0，有f（x+2）=-f（x），所以f（x+4）=f[（x+2）+2]=-f（x+2）=-[-f（x）]=f（x），
所以当x≥0时，f（x）是以4为周期的周期函数，所以f（2012）=f（503×4+0）=f（0）=log2（0+1）=0．
又函数f（x）是（-∞，+∞）上的偶函数，所以f（-2001）=f（2001）=f（500×4+1）=f（1）=log2（1+1）=1．
所以f（-2001）+f（2012）=1．
故选D．