Question

当n∈N⁺时，定义函数N（n）表示n的最大奇因数．如N（1）=1，N（2）=1，N（3）=3，N（4）=1，N（5）=5，N（10）=5，记S（n）=N（2^n-1）+N（2^n-1+1）+…+N（2ⁿ-1）（n∈R⁺）则：（1）S（3）=    ；（2）S（n）=    ．

Answer

由题意当n∈N*时，定义函数N（n）表示n的最大奇因数，利用此定义有知道N（2n）=1，当n为奇数时，N（n）=n，在从2n-1到2n-1这2n-1个数中，奇数和偶数各有2n-2个．且在这2n-2个偶数中，不同的偶数的最大奇因数一定不同，那么N（2n-1）+N（2n-1+1）+N（2n-1+2）+…+N（2n-1），利用累加法即可求得．
【解析】
因N（2n）=1，
当n为奇数时，N（n）=n，
在从2n-1到2n-1这2n-1个数中，奇数有2n-2个，偶数有2n-2个．
在这2n-2个偶数中，不同的偶数的最大奇因数一定不同，
从2n-1到2n-1共有2n-1个数，而1到2n-1共有2n-1个不同的奇数，
故有N（2n-1）=21-1=1，N（2n-1+1）=22-1=3，…，N（2n-1）=2n-1．
那么S（n）=N（2n-1）+N（2n-1+1）+N（2n-1+2）+…+N（2n-1）
=1+3+5+…+2n-1==4n-1．
当n=3时，S（3）=16．
故答案为：16；4n-1．