Question

设f（x）是定义在R上的偶函数，对任意的x∈R，都有f（x）=f（x+4），且当x∈[0，2]时，f（x）=2^x-1，则方程f（x）-log₂（x+2）=0的实数根的个数为    ．

Answer

由题意可得出函数是周期为4的偶函数且x∈[-2，2]时，f（x）=2|x|-1，由此可作出f（x）在实数集上的图象，又方程f（x）-log2（x+2）=0的实数根的个数即两函数y=f（x）与y=log2（x+2）的图象的交点个数，由此将方程根的个数问题转化为两函数图象交点个数的问题，作图即可得出答案
【解析】
f（x）是定义在R上的偶函数，当x∈[0，2]时，f（x）=2x-1
∴x∈[-2，2]时，f（x）=2|x|-1
又对任意的x∈R，都有f（x）=f（x+4），故周期是4
方程f（x）-log2（x+2）=0的实数根的个数即两函数y=f（x）与y=log2（x+2）的图象的交点个数
如图，由图知，两函数有四个交点
即方程f（x）-log2（x+2）=0的实数根的个数为4
故答案为4