Question

如图所示，PA⊥平面ABC，点C在以AB为直径的⊙O上，∠CBA=，PA=AB=2，点E为线段PB的中点，点M在弧AB上，且OM∥AC．
（Ⅰ）求证：平面MOE∥平面PAC；
（Ⅱ）求证：平面PAC⊥平面PCB；
（Ⅲ）设二面角M-BP-C的大小为θ，求cosθ的值．

Answer

（Ⅰ）先证明OE∥平面PAC、OM∥平面PAC，再利用面面平行的判定，可得平面MOE∥平面PAC；
（Ⅱ）证明BC⊥平面PAC，利用面面垂直的判定，可得平面PAC⊥平面PCB；
（Ⅲ）求出S△PBC、S△PMB，利用面积比，即可求出二面角M-BP-C的大小．
（Ⅰ）证明：因为点E为线段PB的中点，点O为线段AB的中点，所以OE∥PA      
因为PA⊂平面PAC，OE⊄平面PAC，所以OE∥平面PAC．
因为OM∥AC，因为AC⊂平面PAC，OM⊄平面PAC，所以OM∥平面PAC．
因为OE∩OM=O，所以平面MOE∥平面PAC；
（Ⅱ）证明：因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC，
因为点C在以AB为直径的⊙O上，所以BC⊥AC
因为PA∩AC=A，所以BC⊥平面PAC
因为BC⊂平面PCB，所以平面PAC⊥平面PCB；
（Ⅲ）【解析】
∵∠CBA=，PA=AB=2，∴BC=1，AC=，PC=，
∵BC⊥PC，∴S△PBC==
由AM2=1+1-2×1×1×cos30°=2-，∴PM2=6-，∴BM2=2+，
∴S△PMB=
∵二面角M-BP-C的大小为θ，
∴利用面积射影定理可得cosθ==．