Question

已知，，的夹角为，试求：
（1）+与-夹角的余弦值．
（2）使向量+λ与λ-的夹角为钝角时，λ的取值范围．

Answer

（1）由向量数量积公式，算出=1，从而得到|+|=，|-|=．最后用向量的夹角公式，即可得到+与-夹角的余弦值．
（2）根据题意，得向量+λ与λ-的数量积为负数，因此计算+λ与λ-的数量积并代入题中的数据，得到关于λ的一元二次不等式，解之即可得到实数λ的取值范围．
【解析】
∵，，的夹角为，
∴==1
（1）∵（+）2=+2+=1+2×1+4=7，（-）2=-2+=1-2×1+4=3，
∴|+|=，|-|=
设+与-的夹角为α，则
cosα===-，
即+与-夹角的余弦值等于-
（2）根据题意，不存在λ值，使向量+λ与λ-的夹角为π，
∴向量+λ与λ-的夹角为钝角时，可得
（+λ）（λ-）＜0，即λ+（λ2-1）-λ＜0
将，和=1代入，可得
λ+（λ2-1）-4λ＜0，整理得λ2-3λ-1＜0
解这个不等式，得＜λ＜
因此λ的取值范围是（，）．