Question

已知函数f（x）=x²+2ax-1
（1）若f（1）=2，求实数a的值，并求此时函数f（x）的最小值；
（2）若f（x）为偶函数，求实数a的值；
（3）若f（x）在（-∞，4]上是减函数，那么实数a的取值范围．

Answer

（1）由f（1）=2，解得a=1，此时函数f（x）=x2+2x-1=（x+1）2-2，由此可得函数f（x）的最小值．
（2）若f（x）为偶函数，则有对任意x∈R，都有 f（-x）=f（x），由此求得实数a的值．
（3）由于函数f（x）=x2+2ax-1的单调减区间是（-∞，-a]，而f（x）在（-∞，4]上是减函数，可得 4≤-a，由此求得实数a的取值范围．
【解析】
（1）由题可知，f（1）=1+2a-1=2，即a=1，此时函数f（x）=x2+2x-1=（x+1）2-2≥-2，
故当x=-1时，函数f（x）min=-2．
（2）若f（x）为偶函数，则有对任意x∈R，都有 f（-x）=（-x）2+2a（-x）-1=f（x）=x2+2ax-1，即4ax=0，故a=0．
（3）函数f（x）=x2+2ax-1的单调减区间是（-∞，-a]，而f（x）在（-∞，4]上是减函数，
∴4≤-a，即a≤-4，故实数a的取值范围为（-∞，-4]．