Question

已知定义域为（0，+∞）的函数f（x）满足：①x＞1时，f（x）＜0；②③对任意的正实数x，y，都有f（xy）=f（x）+f（y）
（1）求证：f（1）=0，；
（2）求证：f（x）在定义域内为减函数；
（3）求不等式f（2）+f（5-x）≥-2的解集．

Answer

（1）令x=y=1，即可求得f（1）=0，令x=x，y=，即可证得f（）=-f（x）；
（2）设任意0＜x1＜x2，则＞1，可证得f（x2）-f（x1）＜0；
（3）根据②可求得f（2）=-1，从而可得f（5-x）≥f（2），再利用f（x）在定义域内为减函数，即可求得其解集．
证明（1）令x=y=1，则f（1）=f（1）+f（1），f（1）=0，
令x=x，y=，则f（1）=f（x）+f（）=0，即f（）=-f（x），
（2）∵x＞1时，f（x）＜0，设任意0＜x1＜x2，则＞1，
f（x2）-f（x1）=f（x2）+f（）=f（）＜0，
∴f（x2）＜f（x1），
∴f（x）在定义域内为减函数；
（3）∵f（）=1，f（）=-f（x），
∴-f（2）=f（）=1得，
∴f（2）=-1，即有f（2）+f（2）=-2，
∴f（2）+f（5-x）≥-2可化为f（2）+f（5-x）≥f（2）+f（2），
即f（5-x）≥f（2），又f（x）在定义域内为减函数，
∴0＜5-x≤2，解得3≤x＜5．
∴原不等式的解集为：{x|3≤x＜5}．