Question

在如图所示的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC．BC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，G为BC的中点．
（1）求证：AB∥平面DEG；
（2）求证：BD⊥EG；
（3）求二面角C-DF-E的正弦值．

Answer

（1）要证AB∥平面DEG，可在平面DEG中找到一条直线与AB平行，根据题目给出的条件，能够证得AB∥DG；
（2）根据题目条件先证明EB、EA、EF两两相互垂直，然后以E为原点，以EB、EF、EA所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，运用向量数量积等于0，从而证明BD⊥EG；
（3）在（2）的基础上，求出二面角的两个半平面的法向量，利用法向量求二面角的平面角的余弦值．
（1）证明：∵AD∥EF，EF∥BC，∴AD∥BC，
∵BC=2AD，G为BC的中点，∴AD∥BG，且AD=BG，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DG
因为AB不在平面DEG中，DG在平面DEG内，∴AB∥平面DEG．
（2）证明：∵EF⊥平面AEB，AE⊂平面AEB，BE⊂平面AEB，
∴EF⊥AE，EF⊥BE，∵AE⊥EB，∴EB、EF、EA两两垂直．
以点E为坐标原点，EB、EF、EA所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
由已知得：A（0，0，2），B（2，0，0），C（2，4，0），D（0，2，2），F（0，3，0），G（2，2，0）．
∵，∴
∴BD⊥EG．
（3）【解析】
由已知得是平面EFDA的法向量，设平面DCF的法向量为
∵，∴，令z=1，得x=-1，y=2，即．
设二面角C-DF-E的大小为θ，
则，∴
∴二面角C-DF-E的正弦值为．