Question

已知 sinx，cosx），=（cosx，-cosx），x∈R，定义函数f（x）=
（1）求函数f（x）的最小正周期，值域，单调增区间．
（2）设△ABC的三内角A，B，C所对的边分别为a、b、c，且c=，f（C）=0，若向量=（1，sinA）与 =（2，sinB）共线，求边a，b的值及△ABC的面积S？

Answer

（1）利用向量的数量积的坐标表示及辅助角公式对已知函数进行化简，然后结合正弦函数的性质即可求解
（2）由f（C）=sin（2C ）-1=0，及C为△ABC的内角，可求C，然后结合向量共线的坐标表示可得sinB与sinA的关系，根据正弦定理进而可得b与a的关系，最后利用余弦定理得：c2=a2+b2-2abcosC，即可求解
【解析】
（1）∵f（x）== 
= sin2x-
= 
∴f（x）的最小正周期T=π，值域为[-2，0]，
令2kπ ，（k∈Z），
∴f（x）的增区间为： （k∈Z），
（2）∵f（x）=，f（C）=0，
∴f（C）=sin（2C ）-1=0，又C为△ABC的内角，
∴C= 
又=（1，sinA）与=（2，sinB）共线
∴sinB=2sinA，根据正弦定理得：b=2a①，
由余弦定理得：c2=a2+b2-2abcosC，即3=a2+b2-ab②，
联立①②，解得a=1，b=2．
∴△ABC的面积S==