Question

已知等差数列{a_n}的前n项的和为60，且a₁，a₆，a₂₁成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}的前n项和S_n满足S_n+1-S_n=a_n（n∈N^*），且b₁=5，求S_n及数列{b_n}的通项公式．

Answer

（1）设出等差数列的公差为d，由等差数列{an}的前6项和为60，且a6为a1和a21的等比中项，根据等差数列的性质及前n项和公式列出关于a1和d的方程组，求出方程组的解即可得到a1和d的值，进而写出通项公式an及前n项和Sn．
（2）法1，利用累加法先求出数列{Sn}的通项公式，再求出数列{bn}的通项公式，
法2，由Sn+1-Sn=an=bn+1，先求出数列{bn}的通项公式，再求Sn．
【解析】
（1）设等差数列{an}的公差为d，则
则
解得或
∴an=2n+3．或an=10．
（2）当an=2n+3时，
∵Sn+1-Sn=an
∴当n≥2时Sn-Sn-1=an-1
Sn-1-Sn-2=an-2
…
S3-S2=a2
S2-S1=a1
∴Sn=S1+a1+a2+…+an-1
=5+
=n2+2n+2．
又S1=b1=5也适合上式，所以∴Sn=n2+2n+2
∵当n≥2时，bn=Sn-Sn-1=2n+1，
b1=5不适合上式，
所以
当an=10时，数列{Sn}是以5为首项，以10为公差的等差数列，得出Sn=5+10（n-1）=10n-5
当n≥2时bn=Sn-Sn-1=10，b1=5不适合上式
∴．
另解（2）由Sn+1-Sn=an=bn+1
an=2n+3时，bn+1=2n+3=2（n+1）+1
当n≥2时bn=2n+1，b1=5
所以
当n≥2时，Sn=5+=n2+2n+2．
S1=b1=5也适合上式，所以∴Sn=n2+2n+2
当an=10时，bn+1=an=10，又b1=5
∴．
Sn=5+10（n-1）=10n-5